Sunday, July 13, 2008

Mi intento por ser famoso en las matemáticas

Cuando era estudiante en la Facultad de Ciencias de la UNAM, si algo me parecía fascinante era la magia que imponían los números. En mi primer semestre en dicha escuela descubrí que las matemáticas eran tan importantes, pero tan importantes, que hasta había edificios completos en donde se estudiaban semejante ciencia abstracta. Y aunque siempre me he confesado como un mero aficionado en el complejo arte matemático, alguna vez quise llegar a ser reconocido (sin éxito), en el mismo. Así, esperaba ver quizás un teorema a mi nombre, o por qué no, “la conjetura de la morsa” sobre los números primos, qué sé yo. Entiendo que para quienes no hayan estudiado ciencias esto debe parecer un absurdo, pero estoy seguro que mucha gente que trabaja en estas disciplinas ha soñado con pasar a la fama por un descubrimiento matemático interesante al menos.

Con el tiempo caí en la cuenta sobre la dificultad de pasar a la historia de las matemáticas por algún descubrimiento importante. Todos los teoremas fundamentales parecían ya tener nombre o al menos, una manera de identificarlos (por ejemplo, el teorema del valor medio en cálculo). En otros casos, por ejemplo en el cálculo de variable compleja, dos matemáticos parecen haberse apropiado de todos los teoremas. Podemos hablar de decenas de conjeturas de Cauchy, de Riemann en el campo de los números imaginarios. Ni qué decir de Gauss, el príncipe de las matemáticas, que desde niño había demostrado su talento para los números cuando su maestro pidió a la clase que sumara del 1 al 100. Mientras los demás niños hacían la suma 1+2+3+…+ 100, a mano, el niño Gauss encontró que el total = (100+1) por 50 haciendo el siguiente razonamiento: 1+100 es 101, 2+99 es 101, 3+98 es 101, etc. Por ende la suma total debe ser es 101 por la mitad de los números que tengo. Obviamente hay otros matemáticos muy importantes. Por ejemplo, Pierre de Fermat, que en la vida profesional era abogado, pero es quizás una de las piedras angulares en la teoría de números.

Curiosamente, muchos de los grandes matemáticos no tuvieron acceso a la computadora, pues vivieron mucho antes de la invención de este artefacto casi milagroso. Sin duda las computadoras no nada más sirven para procesar textos, hacer hojas de cálculo, generar bases de datos o realizar dibujitos con el roedor. Es una herramienta útil para la investigación en matemáticas puras. Se puede tratar de probar proposiciones aritméticas, teoremas no demostrados analíticamente y conjeturas matemáticas en donde la teoría de números no ha podido llegar a una conclusión convincente.

Por ejemplo, a través de la historia de las matemáticas, los números primos han logrado evadir todas las leyes para clasificarlos. Muchos matemáticos han construido tablas de primos para lograr hallar la regla que rige su comportamiento. Un número primo es aquel que sólo puede ser divisible (de manera entera) por si mismo y la unidad. Por ejemplo, 7 es primo ya que solamente es divisible entre 7 y entre la unidad, mientras que 8 no es primo, debido a que es divisible entre 1, 2, 4 y 8.

Debido a que las reglas para discernir si un número es primo o no son en esencia muy sencillas, parecería fácil suponer que debieran existir reglas para generar o probar la primalidad de un número. Desgraciadamente no es así, los primos representan un verdadero reto en el terreno de la teoría de números. Durante el último siglo, algunos de los más brillantes matemáticos han dirigido la pesada artillería del análisis para derruir este fuerte, al parecer inexpugnable. Se han logrado algunos avances en este terreno y se tienen algunas fórmulas para hallar primos en algunos rangos de los enteros. Sin embargo, no se ha encontrado aún una fórmula general para encontrar números primos.

Una pregunta que surge naturalmente es si existe un infinito número de primos. Euclides demostró que la cantidad de números primos es infinita. En 1644 Mersenne conjeturó que los números de la forma 2^n - 1 eran primos, donde n es un primo. W. W. R. Ball llamó a estos Números de Mersenne y hasta la fecha los esfuerzos para demostrar esta conjetura han sido vanos. De hecho, no se conoce cómo llegó Mersenne a este resultado, ni para qué condiciones se cumple. Inclusive, hasta 1962 el primo más grande conocido era 2^44 - 1, el cual es en sí un número de Mersenne y consta de aproximadamente 3000 cifras.

Y así entonces, hace ya algunos años de esto, Enrique Salazar (estupendo matemático aficionado y mejor amigo, que tristemente ha muerto hace unos pocos años) y un servidor, creímos que era posible hallar un número mayor al conocido en 1962, así que decidimos usar el poder que la tecnología actual ofrece para hallar un primo de Mersenne aún mayor. Nuestro proyecto incluyó el estudio de las propiedades y criterios para conocer cuándo un número es primo o no. Después de algunas semanas teníamos elaborados algunos programas de computadora que dado un número, la máquina indicaría si era o no primo

La primera aproximación fue decepcionante, nuestro programa tardaba algunas horas en decirnos si un número de 9 cifras era primo o no (recuérdese, aquí no se puede abreviar una cifra, sino que hay que analizarla completa) Nosotros queríamos probar que 2^20011 - 1 era primo, lo cual significaba que había que probar que sólo era divisible entre sí mismo y entre uno. De esta experiencia surgió un nuevo programa que utilizaba técnicas más sofisticadas de programación y que nos permitió reducir el tiempo de procesamiento de la computadora de manera dramática. Sin embargo, hay que hacer notar que el primo buscado contenía aproximadamente 6000 cifras y que debíamos probar que ningún divisor entre 2 y la raíz del número buscado dividían de manera entera a dicho número, (sugerencia del M. en C. Marcos Montiel, fantástico matemático de la Facultad de Ciencias de la UNAM, que penosamente, ya murió).

Nos llevó algunos días determinar que las máquinas a las que teníamos acceso tardarían aproximadamente 2000 años en probar si el número buscado era un primo, lo cual nos obligó a reevaluar nuestro proyecto. Pensemos un poco en lo que está pasando. ¿Qué tan grande es el número buscado? En realidad en un número que es mucho mayor que un gogol (por cierto, la palabra google, el buscador de Internet, nació de ésta), el cual es un 1 seguido de cien ceros y 2^20011 - 1 es aproximadamente un uno ¡seguido de 6000 ceros! Esto es, nuestro número es un gogol elevado a la sexagésima potencia. Sin lugar a dudas es una cifra gigantesca.

Pero entonces encontramos en la revista Scientific American de Septiembre de 1979, en la sección de Martin Gardner, que los quinceañeros Laura Nickel y Curt Noll habían encontrado el vigésimo quinto primo de Mersenne: 2^21701 - 1, el cual fue calculado en la computadora más rápida del mundo en ese entonces, una Cray, la cual se encontraba en el laboratorio Lawrence Livermore en California. Pero este no fue el final, David Slowinski de Cray Research, reportó que el número 2^44497 - 1 es primo y para la fecha de nuestros esfuerzos se reportó como el primo más grande conocido por el hombre. Este número tiene 13,395 cifras (aunque antes, el mismo Slowinsky reportó el hallazgo de un primo anterior a éste: 2^23209 - 1).

Han pasado veintinueve años desde este reporte. Encuentro ahora en Internet que en diciembre 15 del 2005, los doctores Curtis Cooper y Steven Boone, de la Universidad Central del Estado de Missouri, descubrieron el primo de Mersenne número 43: 2^30402457 -1. Este número primo contiene 9,152,052 cifras. Por cierto, la Electronic Frontier Foundation mantiene una recompensa de 100,000 dólares por el primer número con más de 10 millones de dígitos. Quizás haya que reabrir el proyecto y tal vez entonces pase a la historia, o al menos, me haga de una pequeña fortuna.

4 comments:

Yixus said...

Dices "100,000 dólares por el primer número con más de 10 millones de dígitos", pero un número PRIMO, ¿no?

Morsa said...

Desde luego, Yixus, en caso contrario te puedo crear un número de 10 millones de cifras e imprimirlo.

saludos

Sergio Aschero said...

Los invito a leer mi investigación sobre la Matecinesis de Aschero.

http://www.aulamatematica.com/AMD/PDF/AMD_02/02_AMD_16_19_Aschero.pdf

Me gustaría tener una opinión al respecto. Gracias.

Mis datos:
Sergio Aschero
Doctor en Musicología
sergioaschero@gmail.com

Octavio said...

Pero había mucho campo en todo lo que no fuera Teoría de Números o Análisis. Están la Topología, el Álgebra, la Combinatoria, la Geometría Diferencial, la Geometría Simpléctica, etcétera, etcétera, etcétera... Ahí hay mucho por hacer.