Monday, April 26, 2010

Los taxis y el movimiento browniano

El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown, biólogo y botánico que descubrió en 1827 este fenómeno. Él observó que pequeñas partículas de polen se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón aparente. En 1785, el mismo fenómeno había sido descrito por Jan Ingenhousz sobre partículas de carbón en alcohol.

Hay muchas analogías para entender esto: Imaginemos que desplazamos un marcador en la acera, debajo de un rascacielos (farol). Una vez por segundo lanzamos una moneda al aire. Cada vez que sale cara damos un paso al este, y cada vez que sale cruz, un paso hacia el oeste. Una persona está mirando desde lo alto de un edificio y no puede distinguir los posible cuadros marcados en la acera, ya que están demasiado lejos de ella. Pero pueden salir cierto número de caras o sellos seguidos de tal manera que se pueda realizar un trazo visible desde estas condiciones. Ciertamente estos acontecimientos son poco frecuentes ¿Podría esta persona seguir este juego desde su lejanía?

De la misma manera dijo Einstein que, aunque no podemos ver los pequeños y rápidos granos de polen debidos a las colisiones moleculares, podemos ver y veremos los desplazamientos grandes aunque sean poco frecuentes.

El hecho de que existan desplazamientos grandes poco frecuente se expresa mediante la frase de que un camino aleatorio presenta estructura en todas las escalas de longitud, y no sólo en la escala de un único paso. Además de concentrar el estudio en grandes desplazamientos infrecuentes no sólo da una visión diferente de los fenómenos que se cobijan bajo este aspecto si no que también nos dice algo del movimiento molecular invisible (esto es, el valor de la constante de Boltzmann).

Para dos dimensiones, podría ser el camino que recorre un borracho así este se convierte de un movimiento aleatorio unidimensional en uno bidimensional.

Suponiendo que La persona sale a la ventana del edificio después de tres horas. Cuando vuelva a mirar, es bastante improbable que nuestro marcador esté exactamente donde se encontraba al principio (si se quiere de otra manera que el borracho se encuentre nuevamente en el farol). Después de 10000 marcaciones o pasos del borracho tendrían que haberse dado 5000 a la derecha y 5000 a la izquierda. Determinando los cálculos concluimos que es muy improbable que terminemos exactamente donde empezamos y peor aún que se hayan dado todos los 10000 pasos o marcaciones a la derecha o izquierda.

Pues bien, todo esto es simplemente la explicación que el otro día me pareció evidente: había tyomado un taxi y pensé: "cuando el taxista me deje donde voy, tomará de regreso al lugar de salida... pero ¿qué tal que halla otro pasajero eventualmente? Pues irá hacia donde le indique. Una vez que ese pasajero llegue a su destino, que puede ser en otro lado de la ciudad, el taxista enfilará de nuevo, probablemente, al sitio de taxis... Pero se puede repetir el fenómeno N veces. Finalmente, habrá ejecutado nuestro chofer un concierto de rutas diferentes que no es más que un movimiento browniano.

No me había percatado de esto hasta el viernes 23 de abril.

5 comments:

Francisco said...

Hmm!! Es un movimiento browniano? No crees que el hecho de que después de cada entrega el taxi se dirige siempre hacia el mismo punto, es decir hacia su base, tal vez lo saque de un comportamiento browniano puro? Sería algo así como un movimiento browniando pero dentro de un campo gravitatorio o magnético, algo que generara, además de los cambios de dirección aleatorios, una dirección preferencial. Es interesante, seguramente se ha estudiado. Cuando este campo sea muy debil, recuperamos el movimiento browniano, y en el otro límite, cuando sea muy fuerte, se convierte en un movimiento acelerado normal. Entre estos dos extremos debe haber una transición (segundo orden, primer orden??), que me parece interesante.

Por otro lado, será que la distancia hacia el punto de partida es proporcional a la raíz del tiempo transcurrido, como en el movimiento browniano? No sé, pero me parece que no. Hacen falta algunas abstracciones extras para que el simil funcione.

Lectores en México said...

Que interesante esto del movimiento Browniano, yo estudio algo relativo a esto, y hasta que no lo pusiste en el blog yo no estaba realmente enterada."

De pequeña me gustaba dibujar esas graficas que según yo no tenían sentido", ponía una gota de agua y algunos polvos de pigmentos de color en esa gota de agua que se movia por una superficie plástica que generalemente era de algún juguete plano, acto seguido intentaba con un plumón indeleble dibujar la trayectoria de las particulas de color por toda la gota de la superficie". Mi maestra de primaria me dijo que no dibujara conchinadas que TODAS LAS GRAFICAS ERAN LINEAS RECTAS Y CURVAS Y QUE JAMÁS DESTACARÍA EN EL MEDIO PROFESIONAL PUES LO MÁS ELEVADO QUE PODÍA DIBUJAR UN MATEMÁTICO". Ahora se que lo que intentaba hacer era simplemente tratar de plasmar la naturaleza de manera inocente", pero no me hago la victima, si no que me gustaría compartir esta experiencia contigo y con todos los que leen este blog".

Tú observación del movimiento Browniano me hace llorar al intentar escudriñar en mí pasado infantil, y no asumo como que yo puede haber tenido razón, si no que simplemente todavia es un problema irresoluble para mí, si en verdad dibujaba movimientos brownianos de niña o mí maestra de matemáticas tenía razón".

Ernesto said...

Creo que en el caso de los taxis no sería un movimiento browniano. A menos que consideres los destinos finales y el vector final.

Los destinos serían aleatorios, pero los recorridos están limitados por las calles y sentidos de circulación.

Esto porque los taxis tienden a circular primero sobre calles y no a través de los edificios, en el sentido correcto, y prefiriendo ejes a calles pequeñas para avanzar grandes distancias. Y los taxistas ya tienen sus rutas probadas que tratan se seguir para acercarse al destino final.

Saludos

Morsa said...

Francisco, Ernesto,

Sí, probablemente no pueda modelarse como movimiento browniano, pero bueno, por un momento pensé que ese modelo podría servir para explicar el comportamiento "errático" de la trayectoria de un taxi en la ciudad de México.

saludos
Manuel

Morsa said...

Lectores en México,

Pues me da gusto saber que esto te dio pistas sobre algo que hacías antes de manera intuitiva. Quizás ahora tengas más elementos para abordar con más bases un estudio más avanzado.

saludos
Manuel