Wednesday, December 07, 2016

Espacio desperdiciado en un contenedor lleno de pelotas



Muchos de los concursos que hay hoy día es el acertar cuántas pelotas caben en un coche último modelo de cierta marca en particular. Alguien me ha preguntado por Internet al respecto, considerando que he participado en este tipo de concursos y que me he acercado bastante al resultado correcto, aunque no lo suficiente como para ganar.

La pregunta ocurre cuando se trata precisamente de pelotas en un contenedor que contiene un volumen específico. Este sería el caso general y la cuestión específica es cuánto espacio se desperdicia. Hay varias formas de hacer este cálculo. Supongamos que tenemos una espera dentro de un cubo. Digamos que el radio de la esfera es de 4 cms. Así, si tomamos el cubo, el volumen se expresará como lado x lado x lado, es decir, lado^3. Si consideramos la imagen (ver enseguida, más abajo)


con un radio de 4 cms, tenemos que cada lado es de 8 cms. Entonces, 8^3 = 512 cms cúbicos. Esta cantidad es el volumen de un cubo en donde dentro del mismo hay una esfera que toda todas las paredes del mismo.

Ahora bien, ¿cuál es el volumen de la esfera nada más? La fórmula es:

Vol esfera = (4/3) (pi) (radio^3) 

Por lo que, tomando radio = 4 cms, tenemos que el volumen de la esfera es 268.08 cms cúbicos. Esto quiere decir que la esfera ocupa 52.34% del total del cubo. El espacio desperdiciado es 243.92 cms cúbicos, es decir 47.64%

Si colocamos en una caja cada pelota como en la figura siguiente:



tendremos que se desperdicia 47.64% exactamente.

Sin embargo, en los concursos de acertar cuántas pelotas caben en un auto, no se acomodan las mismas, simplemente se echan dentro de la cabina del auto hasta llenar todo el espacio habitable. (ver siguiente figura).



Esto implica que se desperdicia menos espacio. ¿Cuánto menos? Como es algo que tiene que ver con el azar, habrá algunas pelotas que quedan entre las intersecciones de otras mientras que habrá pelotas que estén de frente a otras como si fuesen espejo. Sin ir demasiado lejos en estas especulaciones, mi aproximación (a ojo de buen cubero), es que se desperdicia algo así como el 50%. No he hecho los cálculos necesarios por dos razones, porque no sé muy bien por dónde empezar y además, porque creo que hay un factor al azar que no me permite la precisión que quisiese. Sin embargo, el número que doy suena razonablemente bueno, quizás con una incertidumbre del 0.5% para arriba y para abajo.





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