Wednesday, May 20, 2015

Reflexiones sobre el concurso de la catafixia de Chabelo


El problema planteado hace un par de artículos ha generado en facebook, particularmente, una interesante discusión. Después de un largo intercambio de bytes me quedo con la idea que todo el problema tiene que ver con el hecho de tomar a todo el concurso como uno solo o bien, dividirlo en dos, uno de tres puertas y después uno nuevo de dos puertas. Paul Erdös, que de matemáticas probablemente sabía más que todos mis lectores y yo juntos, sospechaba que la respuesta de 2/3 de la teoría de juegos estaba equivocada. Sin embargo, Erdös dejó por la paz este problema después de que alguien le mostró una simulación donde este 2/3 se cumplía estadísticamente.

Desde luego que una simulación no es una prueba de nada y sóo marca tendencias. Yo tengo sin embargo algunas cuestiones que los defensores del resultado que da la teoría de juegos no puede responder. Estos son mis razonamientos:

Concurso único: Chabelo me pide decidir sobre 3 posibles puertas donde hay un premio. Elijo la 1. Entonces una vez hecho esto, Chabelo me dice: "voy a abrir la 3, porque ahí no hay premio". Y me pregunta entonces: "¿quieres cambiar la puerta 1 por la 2?". El problema es saber si cambiar me da alguna ventaja. Los resultados mostrados en la teoría de juegos es que sí conviene, pues teniendo 1/3 de la puerta que abrió más el cambio de la puerta a la 2, me da 2/3. Si no cambio, sigo con mi elección inicial y no saco ventaja de que se quitó la puerta 3, por lo que sigo con mi 1/3 de chances de ganar..

Pero éste es el problema. Veamos el siguiente escenario. Chabelo me pide elegir una puerta, elijo la 1. Chabelo entonces me dice: "Vamos a otra parte del estudio". En la otra parte del estudio hay sólo dos puertas. El premio se mantiene en el mismo lugar que en primer concurso. No hay cambios, puede estar en la puerta 2 o 1 como originalmente estaba. Nada ha cambiado con respecto a la configuración inicial. Pero ojo, estamos en un nuevo estudio con sólo dos puertas. Chabelo entonces me dice: "en el concurso anterior decidiste la puerta 1 y ésa es la puerta que voy a decir que decidiste en este nuevo concurso. Te doy chance de que cambies por la puerta 2". ¿Debes cambiar? ¿No es un nuevo concurso en donde sólo hay dos puertas? La diferencia con el ejercicio original es que Chabelo no me dice que quita la puerta 3, sino que se va a otra parte del estudio, donde hay dos nuevas puertas (repito, los premios siguen en el lugar que originalmente estaban) y me pregunta si del concurso anterior, que elegí la puerta 1, me sostengo en esa decisión o cambio. Aquí es un concurso de 50% de probabilidades. Sólo son dos puertas. El otro concurso quedó atrás. Por eso no se "acarrea" o se "hereda "la probabilidad. Yo pregunto ¿dónde está el error en considerar que son dos concursos?

Por otra parte, imaginemos que hay dos concursantes, no 1. Y que el concursante A elige la puerta 1 y el concursante B elige la puerta 2. Chabelo quita la puerta tres y les pregunta a ambos concursantes: "¿quieren cambiar de puerta?". Asumamos que los dos concursantes conocen el resultado de teoría de juegos y ambos deciden cambiar simultáneamente. Entonces, de acuerdo a eso, cada uno de ellos tiene 2/3 de probabilidades de ganar. ¿Cómo puede ser eso? la suma de las probabilidades de los dos concursantes excede la probabilidad total. Explíquenme cómo puede pasar eso?

Pero pongo un escenario más: asumamos que no tengo tres puertas, sino un millón. El concursante elige la 1 y Chabelo me quita 999998 puertas que no tienen premio y me pregunta si quiero cambiar de puerta. ¿si cambio tengo 999999/1000000 de ganar? Finalmente, si hacemos una simulación de esto, en un millón de puertas, puede quedar el premio en la que quieran. Si quito 999998 puertas, quedan dos. Es un volado. Si cambio de puerta, con esa probabilidad estoy en plena certeza de que ganaré. Pero eso es ridículo, porque estoy jugando a que está en la puerta 1 o 2. 50%.

Pero va un planteamiento todavía más escabroso: Cuando Chabelo hace el concurso, él sabe que va a quitar una puerta. No importa la que elija el concursante, Chabelo quitará una puerta del mismo y a priori sabe eso. No tiene importancia qué puerta quita con tal de que quite una que desde luego, no contenga ningún premio. Si Chabelo sabe desde antes que una puerta será eliminada, ¿no estamos ante un concurso de dos puertas, con 50% de acertar correctamente? Y esto plantea algo interesante en sumo grado: para el concursante al elegir la primera vez tiene 1/3 de chances de acertar correctamente, pero Chabelo, que conoce el mecanismo de qué puerta va a quitar a priori, puede verlo como un concurso de dos puertas, porque para él, solamente hay dos puertas en juego. Entonces para Chabelo este es un concurso de 1/2 de probabilidad de acertar o fallar. Y entonces llegamos a la parte complicada ¿es acaso el cálculo de la probabilidad del concursante una maquinación del cerebro para explicarse sus posibilidades de ganar? ¿No será que la probabilidad es un inveto humano para trabajar con el intratable azar? ¿No es finalmente como la matemática, un invento humano? Porque ¿cómo podría ser diferente la probabilidad de Chabelo a la del concursante? ¿porque tiene el conocimiento que quitará una puerta? Esto me parece más asombroso que todo el problema planteado.

Así pues, quien tenga algo que decir explíqueme qué está mal en todos estos razonamientos. No me digan: "es que cambiaron las condiciones", porque no es cierto, siguen siendo las mismas. No me digan: "es que ya lo que dices no es un juego de teoría de juegos". eso no es argumento. Lo interesante en principio es darme la razón lógica atrás del acarreo del resultado anterior, del pensar que sigue siendo el mismo concurso. ¿Estamos?

7 comments:

admin said...

Según el razonamiento, cuando Chabelo muestra la puerta mala, tú cambies o no cambies de puerta, tendrás un 50% de probabilidades de ganar, es decir, ganarás la mitad de las veces si nunca cambias tu puerta. Es decir, si cuando Chabelo hace todo su circo, tú te tapas los ojos y oídos y no cambias de puerta porque no te enteraste que podías cambiar de puerta, tienes 1/2 de probabilidades de ganar.

Pero al mismo tiempo, tienes 1/3 de probabilidades de ganar, porque son 3 puertas y eliges al azar una donde podría estar el premio.

Pero sabemos que 1/3 es distinto de 1/2.

¿Dónde está la contradicción?

Shalim said...

En el primer caso por más artilugios, estudios y demás que quieras añadir, va a ser al final el mismo concurso y el mismo resultado.

Si pones a 2 concursantes tienes que considerar que pueden coincidir en la decisión, y cuando ambos decidan cambiar van a ser 2/3 de probabilidades para los 2.
Y también tienes que considerar la imposibilidad de realizar el concurso cuando ambos estén equivocados en su primera elección, chabelo tendría que abrir la puerta correcta.

En el ejemplo del millón de puertas debería quedarte claro la ventaja que representa el revelar la(s) puerta(s).
Primero tu probabilidad de acertar es una en un millón.
Al revelarte las 999998 puertas que seguramente no son, te están dando una gran ventaja. Aquí cambiar de elección aumenta tus probabilidades a 999999 en un millón. Quedarte con tu elección original es una en un millón.

Por eso cambiar de elección aumenta tu suerte.

Marcelo SG said...

Por que el calculo no habla de las posibilidades de atinarle al lugar del premio, si no de calcular la posibilidad de no atinarle, es decir, si hay 3 puertas, y tu eliges una, las posibilidades de que no este el premio en esta es de 66.6%, luego cuando eliminan una puerta, las posibilidades de que esten en una puerta u otra son de 50% para ambas, pero, las posibilidades de que tu haya fallado en el primer intento son de 66.6% por lo tanto tus posibilidades de atinarle eran de 33.3% pero al cambiarla aumentan a 66.6%. El juego en el cual hay dos concursantes es muy interesante, y se aplica la misma mecanica, pero hay que recordar que no por el hecho de tener mas probabilidad significa que vas a acertar ya que la probabilidad es solo eso probabilidad y un 1% basta para ganar.

Azogue said...

Independientemente de la concepción matemática de la probabilidad que se maneje (por ejemplo, bayesiana, frecuentista, etc), resulta que la probabilidad es una cantidad dependiente de la información que se tenga sobre un fenómeno. Y dado que la información es una variable cuantificable que no es una constante para diferentes observadores, lo mismo sucede para la probabilidad.

Mismo fenómeno puede dar diferentes probabilidades para diferentes observadores, según sea la cantidad de información que ellos tengan sobre el mismo.

Muchas paradojas aparentes provienen del hecho de asumir implícitamente que la probabilidad (numérica) es una constante dado el fenómeno. Pero tanto teóricamente como experimentalmente, resulta no ser así. Incluso, los experimentos estadísticos que no demuestran, pero si muestran, al ser interpretados bajo la lente de "probabilidad constante" pueden causar confusiones.

Supongamos que caigo en coma por tiempo indefinido y al despertar me pregunto en voz alta: que tan probable es que el día de hoy sea miércoles?
Sin mas información, solo puedo asumir que es cualquiera de los siete días, y mas aun puedo asumir que todos tienen la misma probabilidad de ser el día correcto (correcto según un calendario objetivo externo a mi experiencia). Y en ese momento, la enfermera, que resulta ser nieta de godel, además de modelo de victoria's secret (bueno, es mi historia, y la puedo aderezar al gusto), me dice, : el nombre del día de hoy empieza con m (en español).
Las condiciones no han cambiado ( sigue siendo el mismo día) pero mi información sobre el fenómeno ha aumentado. Ahora puedo asumir que es martes, con probabilidad un medio y miércoles con probabilidad un medio.
Naturalmente para la enfermera que cuenta con la información completa (y que además accedió a tomarse una selfie conmigo), la pregunta de : que probabilidad hay de que hoy sea determinado día, no tiene mucho sentido, ya que para ella es determinado día con absoluta certeza, así que en el contexto planteado, ella podría contestar que es tal día con ciento por ciento de probabilidad ( que por definición es lo mismo que certeza) y que es tal o cual día con cero por ciento de probabilidad (nuevamente, total certeza del hecho que no es).

La pregunta que veo ahora relevante en mi historia es: que tan probable es que la enfermera acepte salir a tomar un café para conversar de problemas de lógica godeliana?

Azogue said...

Independientemente de la conceptualizacion que se maneje de la probabilidad (por ejemplo, bayesiana, frecuentista, etc), resulta que la probabilidad es dependiente de la informacion con que se cuente sobre un fenomeno.

Dado que la informacion es una variable cuantificable que depende del "observador", lo mismo sucede con la probabilidad. Consecuencia de esto es que diferentes observadores de un fenomeno pueden cuantificar diferentes valores de la probabilidad para un mismo fenomeno.



Diversas paradojas alrededor de la probabilidad surgen del hecho de considerar implicitamente a la probabilidad como un valor constante, dado el fenomeno. Sin embargo, tanto teoricamente como experimentalmente resulta que dicho numero (entre cero y uno) no tiene porque ser constante. Incluso las "pruebas" estadisticas (que no demuestran, pero si muestran) abonan al hecho de que el numero que se "mide" esta en funcion de la informacion con la que se planteo el experimento.

Supongamos que caigo en coma por tiempo indefinido y al despertar me pregunto no solo que dia es, sino cual es la probabilidad de que sea martes. Sin mas informacion, lo mas sensato (o comodo logicamente) es asumir que dado que puede ser cualquier dia y que no tengo forma de preferir uno sobre otro, "sera" martes con la misma probabilidad que cualquier otro dia.
Supongamos que en ese momento la enfermera, que resulta ser hija de godel y ademas modelo de Victoria's secret (bueno, es mi historia y puedo aderezarla) me dice: El nombre del dia de hoy empieza con M (en español). Las condiciones no han cambiado, sigue siendo el mismo dia, pero mi informacion ha aumentado y ahora puedo asumir que puede ser martes con probabilidad un medio y miercoles con probabilidad un medio.

La probabilidad de ser martes paso de 1/7 a 1/2 con la informacion adicional que se me dio.

Naturalmente para la enfermera (quien cuenta con la informacion completa) no tiene mucho sentido preguntarse sobre la probabilidad de que sea martes. Para ella , es o no es martes con total certeza. O dicho de otro modo, su respuesta podria ser consistente con cualquier marco logico de la probabilidad al contestar: es tal dia con probabilidad 1 (que es lo mismo que certeza absoluta) y que es tal dia con probabilidad cero (de nuevo, certeza absoluta de lo que no es).

En alguna ocasion discutia con mi maestro algunas paradojas probabilisticas y me surgio una duda que plantee como conjetura (aunque aun no tengo prueba de que sea cierta o no) el que a mayor informacion, mayor grado de probabilidad (tendencia a la certeza conforme aumenta la informacion).

De demostrarse, podria sustentarse que el azar es efectivamente solo falta de informacion sobre los fenomenos. y que la probabilidad tambien, dado que esta puede entenderse como una medida de aquella (la definicion y cuantificacion de dicha medida dependera del marco logico que se defina o de las premisas que se usen y/o del marco axiomatico utilizado).
Sin embargo, a nivel fisico, en el ambito de la mecanica cuantica, parece que el azar y la probabilidad es algo inhererente a la naturaleza independientemente del grado de informacion que se tenga sobre los fenomenos.
Agradecere cualquier ayuda sobre esta conjetura.


Ahora la duda que me queda es: en el ejemplo de arriba, ¿cual es la probabilidad de que la enfermera acepte a salir a tomar un cafe para conversar sobre logica probabilistica godeliana? De que informacion dependera esa probabilidad? si es casada o con compromiso, ¿la probabilidad cambia? Si solo sale los jueves, ¿le gustara el capuchino helado?


:)

safary said...

Complementando lo que dice "Shalim". Si pones a dos concursantes y despues de elegir, coincide que la tercera puerta esta vacia, el concursante A, tuvo que elegir 1/3, pero el B, 2/3.

Lo que da la probabilidad, que el concursante B, no desee intercambiar, puesto que él tiene mas probabilidades de ganar (2/3).

Es un error suponer que ambos tienen 2/3.

safary said...

http://es.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant

aqui hay mas sobre el tema.