Friday, May 15, 2015

Problema lógico probabilístico



Imaginen que están en el programa de Chabelo y han llegado hasta la catafixia. El conductor, amigo de todos los niños, les muestra tres puertas, 1, 2 y 3. Y les indica que en una de ellas hay un buen premio, pero que en las otras dos no hay nada. Les pide Chabelo que digan qué puerta eligen. Si somos sensatos, es claro que da lo mismo elegir cualquiera de ellas. Así, tenemos 1/3 de probabilidades de obtener el premio. Supongamos que elegimos la 1. Entonces Chabelo decide abrir la puerta 3 y mostrarnos que ahí no estaba el premio y entonces nos pregunta a bocajarro: ¿Quieres cambiar de elección, o te quedas con la elección original de la puerta 1? ¿Cuál será la mejor decisión?

Esto es un tema que tiene que ver con teoría de juegos y analizando la respuesta que dan a este tema en el libro "Teoría de juegos. Una introducción matemática a la toma de decisiones", de Amster, Pablo y Juan Pablo Pinasco, FONDO DE CULTURA ECONÓMICA (FCE 2014), me parece que es errónea. Los autores indican que cambiar la elección de la puerta 1 a la 2 cuando el conductor lo propone, incrementa a 2/3 la probabilidad de ganar el premio. ¿Pero es así? El argumento parece simple. Si nos quedamos con la puerta 1, la primera elección, habremos decidido con una probabilidad de 1/3, pero si ya Chabelo destapó la puerta 3 y nosotros cambiamos, estamos con una probabilidad de obtener el premio que es de 2/3. O sea, la mejor decisión es hacer la catafixia de la puerta 1 por la puerta 2. En principio parece lógico lo que dicen los autores del libro, pero hagamos el siguiente cambio. Imaginemos que Chabelo nos pide que PENSEMOS, sin decirle, la elección de la puerta que queremos abrir. Y asumamos por un momento que Chabelo abre una puerta que no elegimos y que además, no tiene el premio. Si Chabelo nos pide cambiar la elección QUE PENSAMOS, estamos hablando sobre simplemente elegir entre dos puertas y la probabilidad de ganar es de 1/2, porque nunca le dijimos qué puerta habíamos elegido inicialmente.

Dicho de otra manera, ¿Por qué el hecho de informar sobre qué puerta elegimos cambia las probabilidades? Entiendo que originalmente la apuesta es de 1/3, pero al abrir la puerta 3 el conductor, y mostrarnos que no tiene nada, entonces la apuesta se reduce a acertar en un 50% Digamos que es un espejismo pensar que seguimos hablando de 1/3 por puerta, porque ya Chabelo nos hizo ver que en una no existe el premio y al eliminarla, ¿cuál es la probabilidad de que el premio esté en la puerta 1 o 2? 50%, no 1/3 o 2/3.

¿Pero ustedes qué opinan? ¡Que empiecen los juegos del hambre!... No, digo, la discusión...

17 comments:

natorro said...

Teorema de Bayes.

Shalim said...

Es mejor cambiar la elección original, te da una pequeña ventaja probabilística.

Esto entiendo que es bastante complejo de entender, creo que sólo personas con un IQ muy elevado podemos verlo.

De forma simple, cada vez que te dan la opción de cambiar ya es una ventaja. Al principio lo más probable es que pierdas, sólo un tercio de ganar.
Cuando se revela que una catafixia no valida, te dan la opción de cambiar con el sig. 50%, uno de dos.
Puedes pensar, sin cambio ¿qué diferencia hay? es 50%.
Pues no, si persistes en tu opción vas a seguir con tu 1/3, al decidir cambiar aumentas tu ventaja porque ahora apuestas contra tu decisión oirginal que era más improbable (1 de 3). Ganas un pequeña ventaja.

Repito, esto es difícil y lo expreso verbalmente.

Puedes hacer un esquema con cada opción, y comparar cambio contra no cambio.
Ahí verás que es un poco más probable elegir el cambio.

Ernesto said...

Decir o pensar no cambia la posibilidad de encontrar el premio.

Se trata en realidad de dos eventos independientes.

En el primero tienes una probabilidad de 1/3 de ganar..
Chabelo elimina una opción perdedora y cuando eliges tienes 1/2.

Exageremos imagina que no son tres puertas sino 1000.
Solo una tiene el premio.

Cuando eliges tienes una probabilidad muy baja 1/1000.

Entonces Chabelo elimina 998 puertas que no son ganadoras.

Y deja una ganadora y una perdedora..


La que tu escogiste, sigue teniendo una probabilidad de 1/1000.

Pero en este evento solo hay dos puertas. Así que la probabilidad de cada puerta es 1/2.

El punto para entender esto, es que son dos eventos independientes. Uno con una probabilidad y otro con otra. Y que Chabelo si sabe cual es la puerta ganadora. Y no puede eliminar la puerta que ya escogiste.

Es decir, no Chabelo no va a eliminar la puerta ganadora y te va dejar elegir entre dos puertas perdedoras.

Si haces el ejercicio con muchas puertas es muy claro que debes cambiar de puerta.

Ernesto said...

Decir o pensar no cambia la posibilidad de encontrar el premio.

Se trata en realidad de dos eventos independientes.

En el primero tienes una probabilidad de 1/3 de ganar..
Chabelo elimina una opción perdedora y cuando eliges tienes 1/2.

Exageremos imagina que no son tres puertas sino 1000.
Solo una tiene el premio.

Cuando eliges tienes una probabilidad muy baja 1/1000.

Entonces Chabelo elimina 998 puertas que no son ganadoras.

Y deja una ganadora y una perdedora..


La que tu escogiste, sigue teniendo una probabilidad de 1/1000.

Pero en este evento solo hay dos puertas. Así que la probabilidad de cada puerta es 1/2.

El punto para entender esto, es que son dos eventos independientes. Uno con una probabilidad y otro con otra. Y que Chabelo si sabe cual es la puerta ganadora. Y no puede eliminar la puerta que ya escogiste.

Es decir, no Chabelo no va a eliminar la puerta ganadora y te va dejar elegir entre dos puertas perdedoras.

Si haces el ejercicio con muchas puertas es muy claro que debes cambiar de puerta.

Ernesto said...

El problema de pensar la puerta pero no decirla, es que Chabelo puede eliminar la puerta que pensaste. Porque no puede leer la mente, confirmando que la puerta que pensaste era errónea.

En el otro experimento donde dices que puerta, Chabelo no la puede eliminar la puerta que elegiste. Es por eso que la puerta original, conserva la probabilidad original, ya que Chabelo no la elimina aunque sea no ganadora.

Son dos eventos y situaciones diferentes.

Syd ux said...

Suponiendo que son 100 puertas y solo una tiene el premio, vamos a suponer que el premio esta en la 1 y al pedirme elegir pido la 1, luego el empieza a abrir cada una de las demas para ver que no tienen nada hasta dejar nuevamente 2 puertas, la que escogi y otra, por ejemplo la 2, significa entonces que la puerta 2 tiene 99/100 probabilidades de estar premiada? Y que debo cambiar entonces. Y porque cada que abre una nueva puerta la probabilidad de que este se va sumando a la que no escogi? El error esta en que se la probabilidad se debe repartir entre las puertas restantes, y al final cuando quedan 2 puertas simplemente cada una tiene 50%.

Morsa said...

Olvídate si son 100 puertas. Regresemos desde el principio: supongamos que en ese concurso elegimos la puerta 1 y Chabelo nos abre la 3 para mostrarnos que no hay premio ahí y nos dice que podemos elegir ahora la puerta 2 o quedarnos con la puerta 1. Imaginemos que no puedo decidir y Chabelo me dice: "Háblale por teléfono a tu papá, quizás él te pueda ayudar". Yo le hablo y le digo: "Papá, estoy en el programa de Chabelo (que él no está viendo), y me piden elegir entre la puerta 1 y 2. ¿Cuál sugieres tú?". El papá, que no conoce la parte anterior del concurso sabe que tiene 50% de probabilidades de acertar o no al premio. No importa qué puerta elija, el asunto es que elegir la 2, como se sugiere en la solución de la teoría de juegos no le da mejores probabilidades porque el evento anterior no lo conoce y si vamos a esas, es un evento previo.

Pero supongamos que me dicen que todo esto es demasiado elaborado para demostrar que es falso ese 2/3 del que hablan, en donde indican que hay que elegir la puerta 2 en la segunda oportunidad. Regresemos al inicio del juego: elijo la puerta 1 y Chabelo abre la 3 y me enseña que no hay nada. Y entonces me pregunta si me quedo con la puerta 1 o cambio a la 2. En términos reales esta segunda apuesta es de un universo en donde hay solamente dos puertas. Lo anterior ya pasó. Pensemos que no me acuerdo que elegí la puerta 1 o 2 al inicio del juego. Bórrenlo de la mente del concursante. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? 1/2.

Morsa said...

Ay, Shalim, si crees que eres muy inteligente y crees en la bobada del IQ, pues me decepcionas. Amén de eso, tu explicación es bastante limitada. Bájale a la soberbia. No ayuda en estas discusiones.

shoshenskoe said...

Es la famosa paradoja de Monty Hall en probabilidad. Yo lo veo así: es más seguro que al principio te hayas equivocado (2/3), por lo que al cambiar de opción y dado que Chabelo descarta una puerta donde no está el premio (él sí lo sabe), "seguro" que nos encontraremos el premio.



El problema es que no se debe modelar como eventos independientes... simplemente aplicamos mal las herramientas matemáticas cuando consideramos que es "lo mismo" si cambiamos o no de opción.

La estrategia tiene sentido porque empieza desde la primera elección. Además nos dan una "ayudadita" eliminando una puerta en la que no hay premio. Una vez que "termino" la primera elección, la posibilidad de éxito en la segunda elección depende de nuestra primera elección y de lo que hace el susodicho Chabelo (que solo nos ayuda por así decir). En la segunda elección no es que un Ser supremo nos haga olvidarnos de todo lo que paso antes y hacer como si nada paso (que es como nos daría ese 1/2).

Generalmente las matemáticas no pueden "estar equivocadas" siempre que se han demostrado (y se han admitido los axiomas por supuesto)... todo es cuestión de una mala interpretación de los hechos (no "respetamos" los axiomas por así decir).

Al parecer hay una historia al respecto (no sé si sea leyenda urbana o sea verídica). Este problema se le dificultó incluso a Paul Erdos (un matemático) quien decía que solo creería en esa respuesta si la podía "comprobar" una computadora. Esa respuesta la había dado una tal Marilyn vos Savant (según la persona con el IQ más alto del mundo). Y eso sucedió... Erdos tuvo que admitir su "error".

Por cierto, yo tampoco creo en el IQ (mucho menos que eso mide todas las inteligencias). No creo que la inteligencia en las ciencias llamadas imparciales sea superior a la de un pintor o a la de un escritor por ejemplo.

Carlos Missri said...

Definitivamente como dice la morsa hay un 50% de probabilidad aunque cambies de decisión

LuxAeterna said...

Jajajaja ahora si estoycompletamente de acuerdocontigo! Asunto IQ incluído jajajaja

beck said...

¿Por qué el hecho de informar sobre qué puerta elegimos cambia las probabilidades?

Porque al informarle él tiene que escoger qué puerta mostrarte, y esa será aquella puerta perdedora que tú no escogiste, si sólo la "PIENSAS" , existe la probabilidad de que el destape la misma puerta que tu pensaste, lo cual no es posible en el universo del problema y eso es lo que se te está pasando, en tu facebook en el comentario, te puse la demostración formal del problema (si es que no tiene ningún error)

Saludos

Sara Z. said...

Pues no se si mi manera de abordar el problema sea adecuada, pero a mi me parece que si partimos que inicialmente teníamos la probabilidad de 1/3 para la puerta 1 que elegimos, y de 2/3 para las puertas no elegidas, al momento de que Chabelo destapa una de las no elegidas y nos pregunta si queremos cambiar sí nos conviene el cambio porque tenemos el 1/3 inicial contra el 2/3, es decir, nos aumenta la probabilidad de que ganemos el premio cambiar de puerta porque duplica nuestras probabilidades iniciales, es como si Chabelo de inicio nos hubiera dado la oportunidad de elegir 2 y no sólo una puerta.

Shalim said...

Morsa, sé que suena arrogante, pero tenía que advertirlo. Que sea arrogante no significa que sea falso.

Tú que sabes programar puedes salir de tu duda con un simulador.

Prueba cada estrategia con 300 intentos, y en las resultados verás que no es 50% si decides cambiar.

Jonacito said...

Creo que la situación es como esta explicado el problema, ya que para mi cuando chabuelo abre la puerta y no hay premio, ahí termino ese concurso e inicia uno nuevo ahora con dos puertas, es decir tengo 50% de posibilidades de llevarme el premio.

safary said...

¡Interesante!

Bueno yo lo veo así.

En la práctica, elegir entre tres puertas te da la probabilidad de 1/3.

Aquí deberíamos observar que cualquier elección, tiene más chance de ser errónea, 2/3.

Significa que tienes una probabilidad del 66% de errar en el primer chance.

¿Qué probabilidad existe que aciertes a la primera, con tres puertas?

- Un 33%

Definiendo este contexto.

Al eliminar una de las puertas erróneas, nos crea en la práctica, que ese paquete de dos puertas que no habíamos seleccionado se comprime y adquiere el valor completo de la probabilidad.

Esto significa que: nuestra elección inicial era de 33% y ahora el nuevo paquete es del 66%.

- entonces, siempre el cambiar de elección nos dará un mayor chance de ganar.

Conclusión:

Aunque parece que escogemos solo entre dos puertas, o sea dos probabilidades del 50%, en la práctica no es verdad. Estamos escogiendo siempre entre tres. Si fueran solo entre dos, es 50/50.

Cambiar de puerta, no garantiza que ganemos, pero nos aumenta las probabilidades.

Marcelo SG said...

La teoria del juego habla de las posibilidades de fallar, no de acertar, al elegir entre tres opciones la posibilidades de fallar es de 66.6%, al quitar una puerta, las posibilidades de que el premio este en una u otra son de 50% para ambas, pero las posibilidades de que tu hayas elegido una puerta erronea son de 66.6% al cambiar de puerta tus posibilidades de perder o no atinarle son de 33.3.

En conclusion para que le entiendas a la teoria del juego tienes que ver las posibilidades de fallar no de acertar.