Friday, August 08, 2008

Un Barbero que Rasura a Bertrand Russell

Hay algo fascinante y perturbador en las paradojas lógicas. Ellas nos han permitido poner en tela de juicio a esta disciplina, así como avanzar en algunos campos adyacentes a la misma. La más antigua y simple de las paradojas es la llamada "Paradoja del Mentiroso": "Todos los Cretenses son mentirosos" dice Epiménides el Cretense (este personaje era un profeta semilegendario del siglo VI A.C., y el mayor de los dormilones; se decía que una vez había dormido durante cincuenta y siete años.).

La paradoja de Epiménides fue discutida arduamente. Se sabe que el filósofo Crisipo escribió seis tratados sobre ella (aunque ninguno de ellos nos ha llegado). En la actualidad, quizás el libro más documentado sobre la misma corresponde a Robert L. Martin (Yale University Press 1970) titulado: The Paradox of the Liar.

Existen multitud de variantes sobre tal paradoja: "Todo es relativo", "Todo conocimiento es dudoso", etc. Incluso, una variante un poquito más elegante la describe Bertrand Russell, el cual expresó su creencia de que el filósofo George Edward Moore mintió una sola vez en la vida. Cuando se le preguntó: "¿Dice usted siempre la verdad?", Moore reflexionó un momento y contestó: "No".

Podemos hallar mil variaciones sobre el mismo tema, y Bertrand Russell encontró una muy interesante, la cual captó especialmente mi atención y que dice así: "Existe en una aldea un barbero, el cual rasura a todos aquellos que no se rasuran a sí mismos". La pregunta que surge es entonces: "¿Quién rasura al barbero?"

El lector interesado notar cierta incomodidad con estas expresiones. Algo no parece encajar en su lugar y si sirve de consuelo, podemos decirle que durante siglos, los matemáticos y lógicos no han podido desentrañar los problemas concernientes a estas paradojas. Inclusive, Russell alguna vez afirmó: "Si fuera necesario, dedicaría el resto de mi vida a hacer frente [a este desafío]. Pero hallo esto sumamente desagradable por dos razones. En primer lugar, todo el problema me parece trivial y detesto tener que concentrar mi atención en algo que no parece intrínsecamente interesante. En segundo lugar, por mucho que lo intenté, no pude hacer ningún progreso. Durante todo 1903 y 1904, mi labor estuvo totalmente dedicada a esta cuestión, pero sin ningún vestigio de éxito". (Bertrand Russell: El Desarrollo de mi Pensamiento Filosófico, Alianza Editorial).

Aparentemente la dificultad está encerrada en la forma en cómo se plantea el problema. No obstante, reconocemos un detalle curioso: la autorreferencia y el infinito parecen ser factores indivisibles de las paradojas. Aparentemente no hay forma de sacudirse el problema fácilmente y hay que buscar otras alternativas. Una de ellas -y quizás una de las más importantes contribuciones a la lógica formal- viene del mismo B. Russell, que llegó a la conclusión que la paradoja no tiene solución, a menos que hablemos de la teoría de tipos -en donde se ordenan los conjuntos en una jerarqu¡a de tipos- de modo tal que no se permite que ningún conjunto sea un miembro de sí mismo. (Hoy día esto tiene que ver con los lenguajes y los metalenguajes).

As¡ entonces, se eliminan los conjuntos autocontradictorios. Es decir, que no hay ninguna clase que contenga a todas las clases y por ende, la paradoja del barbero -en palabras de Quine- "no necesariamente sacude nuestra fe en la lógica, sino sólo en el barbero. No hay ningún barbero de la clase descrita", o como dice Carnap: "el aserto del barbero no es una oración válida". Esto se traduce a que frases como: "Estoy diciendo una mentira" no es una frase correctamente construída (según la teoría simple de tipos), o bien, se interpreta como "Estoy diciendo una mentira de orden N" es una frase válida en el orden N+1.

Sea como sea, las paradojas son un campo fértil para la imaginación y los lenguajes funcionales (prolog y lisp, dos lenguajes dedicados al manejo simbólico y a la inteligencia artificial), son una herramienta extraordinaria para el estudio sistemático de la lógica (a pesar de que lisp se basa en el cálculo lambda). Inclusive, en la paradoja del barbero, debido a la imprecisión con la cual fue descrita, la solución es muy sencilla, y cae dentro de todos los cánones de la lógica formal: "el barbero es simplemente una mujer, por lo cual, no tiene que rasurarse". ¿O si?

No comments: