Friday, February 01, 2008

El problema del cambio (en las transacciones monetarias)

Diofanto de Alejandría nació alrededor del año 200/214 y murió en el 284/298. Fue un antiguo matemático griego y se le considera el padre del álgebra. Nada se conoce realmente sobre su vida, a excepción de la edad en que falleció, pues se conserva su epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega: “Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.” (al resolver esto, nos da 84, que se asume que es la edad a la que murió). Sin embargo, se ignora el siglo en que vivió.

El matemático alejandrino escribió una obra llamada Aritmética, el cual es un libro que contenía 13 capítulos y de los que sólo se han hallado seis. Se publicó por primera vez en 1575. La importancia de este trabajo es probablemente el estudio que Diofanto hace de las ecuaciones con variables que tienen un valor racional, las cuales se denominan ecuaciones diofánticas o diofantinas. Por ejemplo

x + y = 5

es una ecuación de esta naturaleza. Aquí hay un infinito de soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecaciones de este tipo presentan restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso, a una solución única.

Todo esto es importante porque el caso interesante es el de las ecuaciones diofantinas del tipo

Ax + By = C

también conocida como identidad de Bezou. Esta ecuación tiene solución si y sólo si

d = mcd(A,B)

[máximo común divisor] es un divisor de C. En este caso, la ecuación tiene una infinidad de soluciones. Veamos un ejemplo: intentemos resolver la ecuación diofatina:

6x + 10y = 104 [1]

Seguimos los siguientes pasos:

  • Buscamos el d = mcd(6, 10). A través de Euclides hallamos que d = 2.
  • Como d|C, es decir, 2|104, calculamos una solución particular a partir de la identidad de Bezout: x1 = 2 y y1=-1. La ecuación entonces quedaría así: (6)(2) + (10)(-1) = 2.
  • Ahora tenemos una solución para la ecuación original. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52) tendremos entonces la solución particular de nuestra ecuación original [1]. Esto es (6)(2)(25) + (10)(-1)(52) = 104.

Ahora bien, por otra parte tenemos la siguiente definición importante: dos números enteros a y b son primos relativos entre sí (coprimos o primos relativos), si por definición no tienen ningún factor primo en común (a excepción del 1). Esto es, si su común divisor no es más que el 1 y el -1. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no, porque ambos son divisibles entre 3. A través del algoritmo de Euclides se puede saber si dos números son o no primos relativos.

Pues bien, mi maestro de Algebra Superior, un extraordinario matemático (ya fallecido), Marcos Montiel, me dijo una vez que a través de las ecuaciones diofantinas se podía resolver el problema del cambio en la ciudad de México. Porque contaba él, uno carga con un billete de 200 pesos y nadie nunca tiene cambio para éste.

La idea de Marcos era simple: imaginemos que tenemos dos tipos de billetes nada más, de 11 y 13 pesos, no hay más denominaciones. Estos números, como ya sospechará el lector, son números relativos entre sí. Ahora apliquemos la ecuación diofantina:

11x + 13y = C

donde C es la cantidad que nos piden pagar. Pues bien, como hay un infinito de soluciones, si hacemos los cálculos como en el ejemplo anterior, encontraremos que teneos muchas soluciones. Veamos otro ejemplo: Si tengo que pagar dos pesos, por ejemplo, bastará con dar un billete de 13 pesos y que me regresen uno de 11. ¿Fácil no? Pero ¿qué pasa si debo pagar 53 pesos? Sencillo: dé seis billetes de 11 pesos y le regresarán uno de 13. Con esto, el problema del cambio sería resuelto.

Pero ahora no faltará alguien que me diga: todo eso está muy bien, pero hay que saber cómo resolver ecuaciones diofantinas. ¡No hay problema! He escrito un programa muy sencillo que las resuelve (que está a disposición de manera gratuita a quien me lo pida a mi correo morsa@la-morsa.com). Pero mejor aún, con este sistema educaríamos a la población en este asunto de las ecuaciones diofantinas y además se abrirían nuevas oportunidades de negocios, por ejemplo, crear una calculadora de bajo costo que resuelva rápidamente el problema planteado, o bien, vender una aplicación que cupiese en los teléfonos celulares. Además de todo, hasta de pobres saldríamos y habríamos resuelto del problema del cambio en México. ¿Cómo la ven?

7 comments:

yo said...

¡Excelente ! entonces sí hay manera de contar voto por voto y casilla por casilla... hurra!!!

Al fin podremos probar la prueba tan probadamente demorada y de comprobarlo... pelele y camarilla... ¡¡¡ AL AVERNO !!!

Morsa said...

yo, no entiendo qué tiene que ver tu comentario con el artículo sobre el cambio en las operaciones monetarias. ¿me explicas?

Kalel said...

Creo yo, que ya se las ha hecho costumbre a "estos" venir a poner mensajes con el simple hecho de molestarle o burlarse justamente como lo estaban haciendo en uno de los temas anteriores. A ellos (o es muy probable que sea solamente una persona), era evidente, se les hacia muy gracioso pero a mi se me hacia muy fuera de lugar.

morsa, creo que ya es hora de que los ignores pues realmente no tiene(n) nada que decir...

Morsa said...

Kalel,

Quizás tengas razón. Yo ya no contesto más los mensajes absurdos o groseros. Podría simplemente cerrar la participación que blogger da, pero no lo voy a hacer.

Lo lamentable es tener un espacio para expresarse y usarlo sólo para insultarme por lo que pienso. En fin.

Saludos
Manuel

Yixus said...

Conste que yo soy fan de la Teoría de Números, pero la solución no me parece práctica. Necesitaríamos cargar muchos billetes de 11 y 13 pesos. Además, pensándolo un poco, las monedas de uno, dos y cinco pesos tienen valores primos entre sí, y eso no nos arregla el problema. Aunque suena interesante, la idea de Montiel cae un poco en lo romántico.

Morsa said...

Yixus,

Sin duda concedo. la idea de Marcos Montiel es más simpática que realista, pero nos enseña algo sobre las ecuaciones diofantinas...

saludos

yo said...

Kalel: todo está dicho, somos mucho mas que dos...
Morx: números, números, números...
Si en algo los ofendí o los insulté sin intención... sorry.
Seguramente este mensajillo no pasará al aire, ok, solo tú Morx sabes que sé reconocer el malentendido y pedir disculpasorrys.
Bye forever, seguiré leyendolos mientras compartan su pantalla.
Olvídense de yo.