El problema planteado hace un par de artículos ha generado en facebook, particularmente, una interesante discusión. Después de un largo intercambio de bytes me quedo con la idea que todo el problema tiene que ver con el hecho de tomar a todo el concurso como uno solo o bien, dividirlo en dos, uno de tres puertas y después uno nuevo de dos puertas. Paul Erdös, que de matemáticas probablemente sabía más que todos mis lectores y yo juntos, sospechaba que la respuesta de 2/3 de la teoría de juegos estaba equivocada. Sin embargo, Erdös dejó por la paz este problema después de que alguien le mostró una simulación donde este 2/3 se cumplía estadísticamente.
Desde luego que una simulación no es una prueba de nada y sóo marca tendencias. Yo tengo sin embargo algunas cuestiones que los defensores del resultado que da la teoría de juegos no puede responder. Estos son mis razonamientos:
Concurso único: Chabelo me pide decidir sobre 3 posibles puertas donde hay un premio. Elijo la 1. Entonces una vez hecho esto, Chabelo me dice: "voy a abrir la 3, porque ahí no hay premio". Y me pregunta entonces: "¿quieres cambiar la puerta 1 por la 2?". El problema es saber si cambiar me da alguna ventaja. Los resultados mostrados en la teoría de juegos es que sí conviene, pues teniendo 1/3 de la puerta que abrió más el cambio de la puerta a la 2, me da 2/3. Si no cambio, sigo con mi elección inicial y no saco ventaja de que se quitó la puerta 3, por lo que sigo con mi 1/3 de chances de ganar..
Pero éste es el problema. Veamos el siguiente escenario. Chabelo me pide elegir una puerta, elijo la 1. Chabelo entonces me dice: "Vamos a otra parte del estudio". En la otra parte del estudio hay sólo dos puertas. El premio se mantiene en el mismo lugar que en primer concurso. No hay cambios, puede estar en la puerta 2 o 1 como originalmente estaba. Nada ha cambiado con respecto a la configuración inicial. Pero ojo, estamos en un nuevo estudio con sólo dos puertas. Chabelo entonces me dice: "en el concurso anterior decidiste la puerta 1 y ésa es la puerta que voy a decir que decidiste en este nuevo concurso. Te doy chance de que cambies por la puerta 2". ¿Debes cambiar? ¿No es un nuevo concurso en donde sólo hay dos puertas? La diferencia con el ejercicio original es que Chabelo no me dice que quita la puerta 3, sino que se va a otra parte del estudio, donde hay dos nuevas puertas (repito, los premios siguen en el lugar que originalmente estaban) y me pregunta si del concurso anterior, que elegí la puerta 1, me sostengo en esa decisión o cambio. Aquí es un concurso de 50% de probabilidades. Sólo son dos puertas. El otro concurso quedó atrás. Por eso no se "acarrea" o se "hereda "la probabilidad. Yo pregunto ¿dónde está el error en considerar que son dos concursos?
Por otra parte, imaginemos que hay dos concursantes, no 1. Y que el concursante A elige la puerta 1 y el concursante B elige la puerta 2. Chabelo quita la puerta tres y les pregunta a ambos concursantes: "¿quieren cambiar de puerta?". Asumamos que los dos concursantes conocen el resultado de teoría de juegos y ambos deciden cambiar simultáneamente. Entonces, de acuerdo a eso, cada uno de ellos tiene 2/3 de probabilidades de ganar. ¿Cómo puede ser eso? la suma de las probabilidades de los dos concursantes excede la probabilidad total. Explíquenme cómo puede pasar eso?
Pero pongo un escenario más: asumamos que no tengo tres puertas, sino un millón. El concursante elige la 1 y Chabelo me quita 999998 puertas que no tienen premio y me pregunta si quiero cambiar de puerta. ¿si cambio tengo 999999/1000000 de ganar? Finalmente, si hacemos una simulación de esto, en un millón de puertas, puede quedar el premio en la que quieran. Si quito 999998 puertas, quedan dos. Es un volado. Si cambio de puerta, con esa probabilidad estoy en plena certeza de que ganaré. Pero eso es ridículo, porque estoy jugando a que está en la puerta 1 o 2. 50%.
Pero va un planteamiento todavía más escabroso: Cuando Chabelo hace el concurso, él sabe que va a quitar una puerta. No importa la que elija el concursante, Chabelo quitará una puerta del mismo y a priori sabe eso. No tiene importancia qué puerta quita con tal de que quite una que desde luego, no contenga ningún premio. Si Chabelo sabe desde antes que una puerta será eliminada, ¿no estamos ante un concurso de dos puertas, con 50% de acertar correctamente? Y esto plantea algo interesante en sumo grado: para el concursante al elegir la primera vez tiene 1/3 de chances de acertar correctamente, pero Chabelo, que conoce el mecanismo de qué puerta va a quitar a priori, puede verlo como un concurso de dos puertas, porque para él, solamente hay dos puertas en juego. Entonces para Chabelo este es un concurso de 1/2 de probabilidad de acertar o fallar. Y entonces llegamos a la parte complicada ¿es acaso el cálculo de la probabilidad del concursante una maquinación del cerebro para explicarse sus posibilidades de ganar? ¿No será que la probabilidad es un inveto humano para trabajar con el intratable azar? ¿No es finalmente como la matemática, un invento humano? Porque ¿cómo podría ser diferente la probabilidad de Chabelo a la del concursante? ¿porque tiene el conocimiento que quitará una puerta? Esto me parece más asombroso que todo el problema planteado.
Así pues, quien tenga algo que decir explíqueme qué está mal en todos estos razonamientos. No me digan: "es que cambiaron las condiciones", porque no es cierto, siguen siendo las mismas. No me digan: "es que ya lo que dices no es un juego de teoría de juegos". eso no es argumento. Lo interesante en principio es darme la razón lógica atrás del acarreo del resultado anterior, del pensar que sigue siendo el mismo concurso. ¿Estamos?
